Решить уравнение 4sin(x)+ 2cos(x)=2+ 3tg(x) Решение есть в сети, но оно не ясно для меня.
Это пример из "Математика абитуриенту" Ткачука, 3 уровень сложности.
Кому не трудно, попробуйте решить.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:
4sin(x) + 2cos(x) = 2 + 3tg(x)
4sin(x) + 2cos(x) = 2 + 3sin(x)/cos(x)
Умножим обе части уравнения на cos(x), чтобы избавиться от знаменателя:
4sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 2cos(x) + 3sin(x)
Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x):
2sin(2x) + 2cos^2(x) = 2cos(x) + 3sin(x)
Заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x):
4sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 2cos(x) + 3sin(x)
Теперь у нас уравнение выглядит так:
4sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 2cos(x) + 3sin(x)
Подставляем cos(x) = 1 - sin^2(x) (тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1):
4sin(x)(1 - sin^2(x)) + 2(1 - sin^2(x))^2 = 2(1 - sin^2(x)) + 3sin(x)
Упрощаем уравнение и сводим все выражение к одной стороне:
4sin(x) - 4sin^3(x) + 2 - 4sin^2(x) + 2sin^4(x) = 2 - 2sin^2(x) + 3sin(x)
2sin^4(x) - 4sin^3(x) - 4sin^2(x) + 4sin(x) = 0
Получаем уравнение 2sin(x)(sin^3(x) - 2sin^2(x) - 2sin(x) + 2) = 0
Отсюда получается, что sin(x) = 0 или sin^3(x) - 2sin^2(x) - 2sin(x) + 2 = 0
Первое уравнение приводит к sin(x) = 0, что значит x = kπ, где k - целое число.
Второе уравнение может быть решено численно или графически, так как это уравнение кубической функции.
Надеюсь, это поможет вам разобраться с данным уравнением.