Алгебра. Линейные пространства. Доказать, что { sinX, cosX } - базис линейного пространства функций f(x) = aSinX+bCosX, где a,b ∈ R. Какова размерность этого пространства?
Составьте линейную комбинацию функций sinx, cosx, приравняйте ее к нулю.
Затем продифференцируйте равенство. Вы получите систему относительно коэффициентов линейной комбинации. У нее для всех значений х единственное решение. Найдите его.
Мне уже преподаватель подсказку дал, но я всё равно никак не могу понять как это сделать... Может кто нить написать либо пример подобный, либо сразу решение?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Конечно, давайте решим эту задачу вместе.

Пусть функция f(x) = a sin(x) + b cos(x), где a, b ∈ R. Давайте рассмотрим линейную комбинацию функций sin(x) и cos(x):
c sin(x) + d cos(x) = 0, где c и d - коэффициенты линейной комбинации.

Теперь продифференцируем это равенство:
c cos(x) - d sin(x) = 0.

Получаем систему уравнений:
1) c sin(x) + d cos(x) = 0
2) c cos(x) - d sin(x) = 0

Решив эту систему, получаем:
c = 0, d = 0.

Таким образом, единственное решение системы - это тривиальное решение. Это означает, что функции sin(x) и cos(x) линейно независимы, а значит, { sin(x), cos(x) } - базис линейного пространства функций f(x) = a sin(x) + b cos(x).

Размерность этого пространства равна 2, так как базис состоит из двух функций.