Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2+1; y=x+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, нужно найти точку их пересечения и затем вычислить определенный интеграл функции, соответствующей этой фигуре.

x^2 + 1 = x + 2

x^2 - x - 1 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-1)^2 - 41(-1) = 1 + 4 = 5

x1,2 = (1 ± √5) / 2

Теперь найдем соответствующие значения y:

y1 = (1 + √5)^2 + 1 = 3 + 2√5

y2 = (1 - √5)^2 + 1 = 3 - 2√5

Таким образом, точки пересечения: ( (1 - √5) / 2, 3 - 2√5) и ( (1 + √5) / 2, 3 + 2√5).

S = ∫[a, b] (x + 2 - (x^2 + 1)) dx,

где a = (1 - √5) / 2, b = (1 + √5) / 2.

S = ∫[(1 - √5) / 2, (1 + √5) / 2] (x + 2 - (x^2 + 1)) dx

S = ∫[(1 - √5) / 2, (1 + √5) / 2] (- x^2 + x + 1) dx

S = [- (1/3)x^3 + (1/2)x^2 + x] |[(1 - √5) / 2, (1 + √5) / 2]

S = - (1/3)[(1 + √5) / 2]^3 + (1/2)[(1 + √5) / 2]^2 + (1 + √5) / 2 - (- (1/3)[(1 - √5) / 2]^3 + (1/2)[(1 - √5) / 2]^2 + (1 - √5) / 2)

После всех вычислений получим значение площади фигуры.

Грубо обозначено, как это может быть решено, поэтому, пожалуйста, не забудьте проконсультироваться с учителем или экспертом, чтобы проверить этот расчет.