Найти размерность линейного пространства L=(4a-b, a+2b,3a+b) в R3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти размерность линейного пространства L, нужно найти количество линейно независимых векторов в этом пространстве.

Из условия задачи видно, что векторы (4a-b, a+2b,3a+b) содержат две переменные a и b.

Для того чтобы найти количество линейно независимых векторов, нужно проверить их линейную независимость путем составления системы линейных уравнений и нахождения их ранга.

Составим систему уравнений:
4a - b = c1
a + 2b = c2
3a + b = c3

И преобразуем ее к виду матрицы:
4 -1 0 | c1
1 2 0 | c2
3 1 1 | c3

Найдем ранг этой матрицы. Путем элементарных преобразований получаем:
1 0 0 | a
0 1 0 | b
0 0 1 | 0

Таким образом, получили систему уравнений, которая имеет единственное решение, следовательно, векторы линейно независимы.

Получается, что размерность линейного пространства L=(4a-b, a+2b,3a+b) в R3 равна 3.