Решите уравнение 2tg в квадрате икс минус 5 равно 3 ctg в квадрате х В ответе укажите сумму корней (в градусах), принадлежащих промежутку [0;270°]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно переписать в виде:

2(tg^2x) - 5 = 3(ctg^2x)

Далее заменим tg^2x на sin^2x/cos^2x и ctg^2x на cos^2x/sin^2x:

2(sin^2x/cos^2x) - 5 = 3(cos^2x/sin^2x)

Упростим уравнение, умножим обе части на sin^2x*cos^2x:

2sin^2x - 5cos^2x = 3cos^2x

2sin^2x = 8cos^2x

sin^2x = 4cos^2x

sin^2x = 4(1 - sin^2x)

sin^2x = 4 - 4sin^2x

5sin^2x = 4

sin^2x = 4/5

sinx = √(4/5) = 2/√5

Так как sinx > 0 и cosx > 0 в первом и втором квадрантах, то все корни уравнения принадлежат первым двум квадрантам.

Теперь найдем угол x:

x = arcsin(2/√5) ≈ 51.06°

Сумма корней, принадлежащих промежутку [0;270°], равна 51.06° + 180° = 231.06°.

Ответ: 231.06°.