Д/з по Геометрии 1.Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно. 2. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно. 3. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания BC. 4. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого уг; делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков? 5. Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть угол B равен x градусов. Так как трапеция равнобедренная, то угол B равен углу C, т.е. x = 30°. Тогда угол D равен 105°. Так как сумма углов в четырехугольнике равна 360°, то угол A равен 180° - 105° - 30° = 45°. Следовательно, меньший угол равнобедренной трапеции ABCD равен 45°.

Пусть угол ABС равен х градусов. Так как трапеция равнобедренная, то угол ABС равен углу ADС, т.е. х = 100°. Тогда угол ABC равен углу BCD = 180° - 20° - 100° = 60°. Следовательно, угол ABС равен 100°.

Обозначим BC и AD как b и a соответственно. Так как треугольник BCD прямоугольный, то BC/CD = sin(105°). Но так как BC/CD = b/(a-6), где 6 - это половина AD, то sin(105°) = b/(a-6). А sin(105°) = sin(180°-75°) = sin(75°) = cos(15°). Тогда b/(a-6) = cos(15°). А cos(15°) = sqrt(2+sqrt(3))/2, т.е. b/(a-6) = sqrt(2+sqrt(3))/2. Так как CD = a, то а/cos(15°) = asqrt(2+sqrt(3))/2. Выразим а через b: а = bsqrt(2-sqrt(3)). Тогда, так как AD = 5+1 = 6, то a = 6, следовательно b*sqrt(2-sqrt(3)) = 6 и b = 6/(sqrt(2-sqrt(3))). Получаем b = 6/(sqrt(2-sqrt(3)).

Пусть BD и AC обозначают стороны ромба. Так как BD = AC, то угол BDC равен 60°. Пусть h - высота, и BC = x. Так как угол BDC = 60°, то можем записать BD = hsqrt(3). Также можем записать, что SD + DC = x, где S - середина AC. Тогда 2h = x. Так как BD = 34, то h = 17. Тогда, SD = h = 17 и DC = x - h = x - x/2 = x/2. Таким образом, получаем, что x = 2h = 34 и x/2 = 17.

Обозначим сторону ромба как а. Так как площадь ромба равна 27, то он равен S = аh/2, где h - высота. Так как периметр ромба равен 36, то 4а = 36, а = 9. Подставляем значение а в уравнение площади и находим значение h: 27 = 9h/2, h = 6. Получаем, что высота ромба равна 6.