Задача по математике. Нужна помощь. Даны точки A={1;2;0} B={2;1;0} C={2;1;1} D={1;1;1} являються вершной пирамиды. Найти
a) угол ABC
б) S (ABC)
в) V пирамиды
г) длину высоты пирамиды, проведённой из точки A
д) уранение этой высоты
е) записать уравнение прямой проходящей через точку D паралельно прямой AC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам нужно найти векторы AB, AC, AD.

AB = B - A = <2 - 1; 1 - 2; 0 - 0> = <1; -1; 0>
AC = C - A = <2 - 1; 1 - 2; 1 - 0> = <1; -1; 1>
AD = D - A = <1 - 1; 1 - 2; 1 - 0> = <0; -1; 1>

a) Найдем косинус угла ABC по формуле косинуса угла между векторами:
cos(ABC) = (AB AC) / (|AB| |AC|)
AB AC = 11 + (-1)(-1) + 01 = 2
|AB| = √(1^2 + (-1)^2 + 0^2) = √2
|AC| = √3
cos(ABC) = 2 / (√2 √3) = 2 / √6

b) Площадь треугольника ABC можно найти по формуле площади треугольника через векторное произведение векторов AB и AC:
S(ABC) = 0.5 |AB x AC|
AB x AC = <1; -1; 0> x <1; -1; 1> = <1; 1; 0>
|AB x AC| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √2
S(ABC) = 0.5 √2

в) Объем пирамиды V можно найти как одну треть объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD:
V = (1/6) |(AB x AC) AD|
AB x AC = <1; 1; 0>
|(AB x AC) AD| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) 1 = √2
V = (1/6) √2

г) Длину высоты пирамиды, проведенной из точки A, можно найти как проекцию вектора AD на вектор, прямой проводимой через точку B и перпендикулярной плоскости ABCD:
h = |AD| sin(ABC) = √(0^2 + (-1)^2 + 1^2) √(1 - (2 / √6)^2)

д) Уравнение высоты пирамиды проведенной из точки A можно записать, используя уравнение прямой и точку A:
r(t) = A + t * h / |h|, где h - найденная ранее высота, равная проекции вектора AD на вектор AB x AC

е) Уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельной прямой AC, можно найти, используя уравнение прямой и направляющий вектор, равный AC:
D + t AC = D + t <1; -1; 1> = <1 + t; 1 - t; 1 + t>