Задача по математике. Нужна помощь. Даны точки A={1;2;0} B={2;1;0} C={2;1;1} D={1;1;1} являються вершной пирамиды. Найт a) угол AB б) S (ABC в) V пирамид г) длину высоты пирамиды, проведённой из точки д) уранение этой высот е) записать уравнение прямой проходящей через точку D паралельно прямой AC
Для решения задачи нам нужно найти векторы AB, AC, AD.
AB = B - A = <2 - 1; 1 - 2; 0 - 0> = <1; -1; 0> AC = C - A = <2 - 1; 1 - 2; 1 - 0> = <1; -1; 1> AD = D - A = <1 - 1; 1 - 2; 1 - 0> = <0; -1; 1>
a) Найдем косинус угла ABC по формуле косинуса угла между векторами cos(ABC) = (AB AC) / (|AB| |AC| AB AC = 11 + (-1)(-1) + 01 = |AB| = √(1^2 + (-1)^2 + 0^2) = √ |AC| = √ cos(ABC) = 2 / (√2 √3) = 2 / √6
b) Площадь треугольника ABC можно найти по формуле площади треугольника через векторное произведение векторов AB и AC S(ABC) = 0.5 |AB x AC AB x AC = <1; -1; 0> x <1; -1; 1> = <1; 1; 0> |AB x AC| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √ S(ABC) = 0.5 √2
в) Объем пирамиды V можно найти как одну треть объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD V = (1/6) |(AB x AC) AD AB x AC = <1; 1; 0> |(AB x AC) AD| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) 1 = √ V = (1/6) √2
г) Длину высоты пирамиды, проведенной из точки A, можно найти как проекцию вектора AD на вектор, прямой проводимой через точку B и перпендикулярной плоскости ABCD h = |AD| sin(ABC) = √(0^2 + (-1)^2 + 1^2) √(1 - (2 / √6)^2)
д) Уравнение высоты пирамиды проведенной из точки A можно записать, используя уравнение прямой и точку A r(t) = A + t * h / |h|, где h - найденная ранее высота, равная проекции вектора AD на вектор AB x AC
е) Уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельной прямой AC, можно найти, используя уравнение прямой и направляющий вектор, равный AC D + t AC = D + t <1; -1; 1> = <1 + t; 1 - t; 1 + t>
Для решения задачи нам нужно найти векторы AB, AC, AD.
AB = B - A = <2 - 1; 1 - 2; 0 - 0> = <1; -1; 0>
AC = C - A = <2 - 1; 1 - 2; 1 - 0> = <1; -1; 1>
AD = D - A = <1 - 1; 1 - 2; 1 - 0> = <0; -1; 1>
a) Найдем косинус угла ABC по формуле косинуса угла между векторами
cos(ABC) = (AB AC) / (|AB| |AC|
AB AC = 11 + (-1)(-1) + 01 =
|AB| = √(1^2 + (-1)^2 + 0^2) = √
|AC| = √
cos(ABC) = 2 / (√2 √3) = 2 / √6
b) Площадь треугольника ABC можно найти по формуле площади треугольника через векторное произведение векторов AB и AC
S(ABC) = 0.5 |AB x AC
AB x AC = <1; -1; 0> x <1; -1; 1> = <1; 1; 0>
|AB x AC| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √
S(ABC) = 0.5 √2
в) Объем пирамиды V можно найти как одну треть объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD
V = (1/6) |(AB x AC) AD
AB x AC = <1; 1; 0>
|(AB x AC) AD| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) 1 = √
V = (1/6) √2
г) Длину высоты пирамиды, проведенной из точки A, можно найти как проекцию вектора AD на вектор, прямой проводимой через точку B и перпендикулярной плоскости ABCD
h = |AD| sin(ABC) = √(0^2 + (-1)^2 + 1^2) √(1 - (2 / √6)^2)
д) Уравнение высоты пирамиды проведенной из точки A можно записать, используя уравнение прямой и точку A
r(t) = A + t * h / |h|, где h - найденная ранее высота, равная проекции вектора AD на вектор AB x AC
е) Уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельной прямой AC, можно найти, используя уравнение прямой и направляющий вектор, равный AC
D + t AC = D + t <1; -1; 1> = <1 + t; 1 - t; 1 + t>