Уравнение, математическая индукция Докажите что при любом натуральном значении n выполняется равенство 2+7+12+...+(5n-3)=0,5n(3n-1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это равенство по индукции.

База индукции: при n = 1 левая и правая части равенства равны:
2 = 0,5 1 (31-1)
2 = 0,5 2
2 = 2

Предположение индукции: предположим, что равенство выполняется для натурального k, т.е. сумма 2+7+12+...+(5k-3) равна 0,5k(3k-1).

Шаг индукции: докажем, что равенство выполняется и для k+1, т.е. для суммы 2+7+12+...+(5k+2) = 0,5(k+1)(3(k+1)-1).

Рассмотрим левую часть этого равенства:
2+7+12+...+(5k+2) = 0,5k(3k-1) + (5k+2)
2+7+12+...+(5k+2) = 0,5k(3k-1) + 5k + 2 = 0,5k*3k - 0,5k + 5k + 2 = 1,5k^2 + 4,5k + 2

Рассмотрим правую часть равенства для k+1:
0,5(k+1)(3(k+1)-1) = 0,5(k+1)(3k+3-1) = 0,5(k+1)(3k+2) = 0,5(3k^2 + 2k + 3k + 2) = 0,5(3k^2 + 5k + 2) = 1,5k^2 + 2,5k + 1

Получаем, что левая и правая части равенства совпали для k+1, что позволяет сделать вывод о том, что равенство выполняется для любого натурального n по индукции.