Докажите методом мат индукции, что: 4+60+...+(n+1)(3n-1)*4^(n-1)=n²×4^n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

База индукции:

Для n=1:
4^(1-1) = 1
1² * 4 = 4

Получаем: 4 = 4, что верно.

Предположение индукции:
Пусть формула верна для некоторого k, то есть
4 + 60 + ... + (k+1)(3k-1)4^(k-1) = k² 4^k

Индукционный переход:
Докажем, что формула верна и для k+1, если она верна для k.
Для k+1:
4 + 60 + ... + (k+2)(3k+1)4^k = (k+1)² 4^(k+1)

По предположению индукции:
4 + 60 + ... + (k+1)(3k-1)4^(k-1) = k² 4^k

Добавим к обеим частям выражения (k+1)(3k-1)4^(k-1):
(k+1)(3k-1)4^(k-1) = k² 4^k + (k+1)(3k-1)4^(k-1)

Раскроем скобки в правой части:
(k+1)(3k-1)4^(k-1) = k² 4^k + 3k²4^(k-1) - k²4^(k-1) - 4^(k-1)

Объединим подобные члены:
(k+1)(3k-1)4^(k-1) = (k+1)² 4^k - 4^(k-1)

Таким образом,
4 + 60 + ... + (k+1)(3k-1)4^(k-1) = k² 4^k + (k+1)² 4^k - 4^(k-1) = (k+1)² 4^k

Значит, утверждение верно для всех натуральных чисел n по принципу математической индукции.