Составить уравнение гипербол Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно осей
координат, если она проходит через точки М1 (х1, у1) и М2 (x2, у2)
. Найти: 1) действительную и мнимую полуоси;
2) эксцентриситет. Построить гиперболу.
x1=1
x2=3
y1=2
y2=7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Уравнение гиперболы симметричной относительно осей координат имеет вид:

((x - h)^2) / a^2 - ((y - k)^2) / b^2 = 1

где (h, k) - координаты центра гиперболы, а и b - действительная и мнимая полуоси соответственно.

Из условия прохождения через точки М1(x1, y1) и М2(x2, y2), получаем:

((1 - h)^2) / a^2 - ((2 - k)^2) / b^2 = 1
((3 - h)^2) / a^2 - ((7 - k)^2) / b^2 = 1

Разность уравнений:

((1 - h)^2) / a^2 - ((2 - k)^2) / b^2 - ((3 - h)^2) / a^2 + ((7 - k)^2) / b^2 = 0
(h^2 - 2h + 1) / a^2 - (k^2 - 4k + 4) / b^2 - (h^2 - 6h + 9) / a^2 + (k^2 - 14k + 49) / b^2 = 0
(- 2h + 6) / a^2 - (3k - 10) / b^2 = 0
2h - 6 = 3k - 10
2h - 3k = -4

((3 - h)^2) / a^2 - ((7 - k)^2) / b^2 = 1 =>
9 - 6h + h^2 - 49 + 14k - k^2 = a^2
h^2 + k^2 - 6h - 14k - 40 = a^2 (1)

((1 - h)^2) / a^2 - ((2 - k)^2) / b^2 = 1 =>
1 - 2h + h^2 - 4 + 4k - k^2 = a^2
h^2 + k^2 - 2h - 4k - 1 = a^2 (2)

(1) - (2):

4h - 10k - 39 = 0
h = (10k + 39) / 4

Подставляем h в выражение (1):

((10k + 39) / 4)^2 + k^2 - 3 (10k + 39) / 2 - 14k - 40 = a^2
(100k^2 + 780k + 1521) / 16 + k^2 - 15k - 117 - 14k - 40 = a^2
(101k^2 + 736k + 1364) / 16 - 29k - 157 = a^2
101k^2 + 736k + 1364 - 464k - 2512 = 16a^2
101k^2 + 272k - 1148 = 16a^2
k = (-136 ± √(136^2 - 4 101 (-1148))) / (2 101)
k = (-136 ± √(18496 + 462848)) / 202
k = (-136 ± √481344) / 202
k = (-136 ± 692) / 202
k1 = 2
k2 = 7

Подставляем k в выражение (2):

h^2 + 4 - 2h - 4 * k - 1 = a^2
h^2 - 2h - 29 = a^2
1 - 4 - 29 = a^2
a^2 = -32

Таким образом, действительная полуось a = √(-32) = √32, мнимая полуось b = |k1 - k2| = |2 - 7| = 5.

Эксцентриситет e = √(1 + b^2 / a^2) = √(1 + 5^2 / 32) = √(1 + 25 / 32) = √(1 + 25 / 32) = √(57 / 32) = √(57) / √32 = √57 / 4√2.

Теперь можем построить гиперболу с заданными параметрами.