Найти неопределенный интеграл: ∫xsin²x²dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения неопределенного интеграла ∫xsin²(x²)dx, воспользуемся методом интегрирования по частям.

Обозначим u = x, dv = sin²(x²)dx
Тогда du = dx, v = ∫sin²(x²)dx = ∫sin(x²)dx

Для интегрирования последнего выражения, воспользуемся заменой переменной t = x². Тогда dt = 2xdx, а sin(x²) = sin(t).

∫sin(t)dx = -cos(t) + C
∫sin(x²)dx = -cos(x²) + C1

Теперь применим формулу интегрирования по частям:
∫udv = uv - ∫vdu
= x(-cos(x²)) - ∫(-cos(x²)dx)
= -xcos(x²) + ∫cos(x²)dx
= -x*cos(x²) + sin(x²) + C2

Таким образом, итоговый ответ на задачу:
∫xsin²(x²)dx = -x*cos(x²) + sin(x²) + C, где C = C1 + C2 - константы интегрирования.