Сумма кубов пяти последовательных натуральных чисел делится на 6. Докажите, что она делится на 36 Сумма кубов пяти последовательных натуральных чисел делится на 6. Докажите, что она делится на 36

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение.

Пусть сумма кубов пяти последовательных натуральных чисел равна (n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 + (n+4)^3).

Заметим, что (n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 + (n+4)^3 = 5n^3 + 30n^2 + 64n + 48).

Теперь докажем, что данное выражение делится на 6.

Для этого достаточно доказать, что каждое из слагаемых делится на 6.

(5n^3) делится на 6, так как каждое натуральное число делится на 6.(30n^2) делится на 6, так как уже делится на 6.(64n) делится на 6, так как 64 делится на 6.48 делится на 6.

Таким образом, сумма кубов пяти последовательных натуральных чисел делится на 6. Но так как она делится на 6, то и каждое из слагаемых тоже делится на 6. А значит, она делится и на 36.

Таким образом, доказано, что сумма кубов пяти последовательных натуральных чисел делится на 36.