Все углы семиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 56 см. Найдите стороны семиугольника Все углы семиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 56 см. Найдите стороны семиугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как у семиугольника все углы равны, то каждый угол равен ( \frac{360^\circ}{7} = 51.43^\circ ).

Обозначим сторону семиугольника за ( a ). Так как семиугольник описан около окружности, то его можно разбить на 7 равносторонних треугольников. Каждый треугольник имеет угол в вершине равный ( 51.43^\circ ), значит его основание равно ( 360^\circ/7/2 = 25.71^\circ ).

Теперь можем использовать закон синусов в правильном треугольнике.
[
\frac{a}{\sin(25.71^\circ)} = \frac{2R}{\sin(51.43^\circ)}
]
где ( R ) - радиус описанной окружности.

Так как радиус описанной окружности равен ( \frac{a}{2\sin(25.71^\circ)} ), то периметр семиугольника равен
[
56 = 7a = 7 \cdot \frac{a}{2\sin(25.71^\circ)}
]
Отсюда находим:
[
a = \frac{56 \cdot 2 \sin(25.71^\circ)}{7} \approx 9.89 \, \text{см}
]

Таким образом, сторона семиугольника равна приблизительно 9.89 см.