Как решать это уравнение (Rez)2+(Imz)2=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить это уравнение, следует представить комплексное число z в виде z = x + iy, где x - действительная часть числа, y - мнимая часть числа.

Подставим это представление в уравнение:
(x)2 + (y)2 = 2

Решим это уравнение, чтобы найти все комплексные числа z, для которых выполняется условие.

Для начала представим x = rcos(θ) и y = rsin(θ), где r - модуль числа z, θ - угол между вектором z и положительным направлением оси x. Подставим эти значения в уравнение:

(rcos(θ))2 + (rsin(θ))2 = 2
r2 * (cos2(θ) + sin2(θ)) = 2
r2 = 2
r = sqrt(2)

Таким образом, модуль числа z равен sqrt(2). Чтобы найти возможные значения угла θ, используем тригонометрические соотношения:

cos(θ) = x / r
sin(θ) = y / r

Подставляем x = sqrt(2)cos(θ) и y = sqrt(2)sin(θ) в уравнение и преобразуем:

(sqrt(2)cos(θ))2 + (sqrt(2)sin(θ))2 = 2
2cos2(θ) + 2sin2(θ) = 2
2 = 2

Таким образом, уравнение выполняется при любом значении угла θ. Следовательно, множество решений уравнения (Rez)2 + (Imz)2 = 2 - это все комплексные числа, модуль которых равен sqrt(2).