Докажите тождество пж 1) cos10 sin20 cos70 sin80 = cos^2 10 sin^2 20.
2) 1+sin a - cos a = 2 корень 2sin a/2cos(П/4-a/2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Рассмотрим левую часть:

cos10 sin20 cos70 sin80 = cos10 (2sin10cos10) cos70 (2sin40cos40)
= 2cos10sin10 [cos10cos70+sin10sin70] 2sin40cos40
= 2cos10sin10cos(40) 2sin40cos40
= 4cos10sin10sin40cos40
= 4cos10sin10 (1/2) sin80
= 2cos10sin10sin80.

Теперь рассмотрим правую часть:

cos^2 10 sin^2 20 = cos^2 10 (2sin20cos20)^2
= cos^2 10 4sin^220cos^220
= 4cos^2 10sin^220cos^220
= 4cos10sin10sin20cos20
= 4cos10sin10 1/2 * sin40
= 2cos10sin10sin80.

Таким образом, левая и правая части равны, что доказывает данное тождество.

2) Рассмотрим левую часть:

1 + sin(a) - cos(a) = 1 + 2sin(a/2)cos(a/2) - (cos^2(a/2) - sin^2(a/2))
= 1 + 2sin(a/2)cos(a/2) - cos^2(a/2) + sin^2(a/2)
= (1 - cos^2(a/2)) + 2sin(a/2)cos(a/2) + sin^2(a/2)
= sin^2(a/2) + 2sin(a/2)cos(a/2)
= (sin(a/2) + cos(a/2))^2
= (cos(П/4 - a/2))^2
= 2cos(П/4 - a/2).

Таким образом, левая часть равна правой, что доказывает данное тождество.