Координаты и векторы Даны точки: (2; 3, -1); В (0; 1 2); С (4; -1; -1); D (2; -3; 1).
Задания:
1. Запишите координаты векторов AB, CD.
2. Запишите разложение вектора АС по координатам i, j, k.
3. Найдите координаты точки К - середины отрезка ВС.
4. Вычислите длину BD и расстояние между точками А и D.
5. Найдите косинусы углов между векторами АВ и ВС, ВС и CD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Вектор AB = B - A = (0 - 2; 1 - 3; 2 - (-1)) = (-2; -2; 3)
Вектор CD = D - C = (2 - 4; -3 - (-1); 1 - (-1)) = (-2; -2; 2)

Вектор AC = C - A = (4 - 2; -1 - 3; -1 - (-1)) = (2; -4; 0)
Разложение вектора AC по координатам i, j, k: AC = 2i - 4j

Найдем координаты точки К - середины отрезка ВС:
К = ((0 + 4)/2; (1 - 1)/2; (2 + (-1))/2) = (2; 0; 0)

Длина вектора BD:
|BD| = sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4 + 4) = sqrt(12) = 2*sqrt(3)

Расстояние между точками A и D:
|AD| = sqrt((2 - 2)^2 + (3 - (-3))^2 + (-1 - 1)^2) = sqrt(0 + 36 + 4) = sqrt(40) = 2*sqrt(10)

Косинус угла между векторами AB и BC:
cos(AB, BC) = (AB BC) / (|AB| |BC|) = ((-2)(-2) + (-2)(-2) + 32) / (sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + 3^2) sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + 2^2))
= (4 + 4 + 6) / (sqrt(4 + 4 + 9) sqrt(4 + 4 + 4))
= 14 / (3 4)
= 14 / 12
= 7 / 6

Косинус угла между векторами BC и CD:
cos(BC, CD) = (BC CD) / (|BC| |CD|) = ((-2)(-2) + (-2)(-2) + 22) / (sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + 2^2) sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + 2^2))
= (4 + 4 + 4) / (sqrt(4 + 4 + 4) sqrt(4 + 4 + 4))
= 12 / (2 2)
= 12 / 4
= 3