Найти проекцию точки. Задание по Алгебре и геометрии Найти проекцию точки M(-2,3,1) на прямую:
{x + 3y + z − 1 = 0
{3x + 5y − z + 5 = 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения проекции точки M(-2,3,1) на прямую, заданную уравнениями {x + 3y + z − 1 = 0 и {3x + 5y − z + 5 = 0, нужно следовать шагам:

Для этого выразим z из первого уравнения: z = 1 - x - 3y
Подставим это выражение во второе уравнение и решим систему уравнений:
3x + 5y - (1 - x - 3y) + 5 = 0
3x + 5y - 1 + x + 3y + 5 = 0
4x + 8y + 4 = 0
x + 2y + 1 = 0

Таким образом, направляющий вектор прямой будет равен (1, -2, 0).

Проведем перпендикуляр к прямой через точку M. Уравнение этого перпендикуляра будет иметь вид:
x = -2 + t
y = 3 - 2t
z = 1

Теперь найдем точку проекции перпендикуляра на прямую. Для этого подставим координаты точки перпендикуляра в уравнение прямой {x + 3y + z − 1 = 0:
(-2 + t) + 3(3 - 2t) + 1 - 1 = 0
-2 + t + 9 - 6t + 1 = 0
-5t + 8 = 0
t = 8/5

Таким образом, координаты точки проекции будут:
x = -2 + 8/5 = -2/5
y = 3 - 2*(8/5) = 1/5
z = 1

Таким образом, проекция точки M(-2,3,1) на заданную прямую будет равна (-2/5, 1/5, 1).