Исследуйте функцию: f(x)=-x -х- + 6x — 5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, перепишем данную функцию в более удобной форме:

f(x) = -x^2 + 6x - 5

Теперь проанализируем функцию:

Найдем вершину параболы, представляющей собой график данной квадратичной функции. Вершина находится в точке, где производная функции равна нулю. Для этого найдем производную f'(x):

f'(x) = -2x + 6

Теперь найдем x, при котором f'(x) = 0:

-2x + 6 = 0
-2x = -6
x = 3

Соответственно, x = 3 - координата x вершины параболы. Теперь найдем y-координату вершины подставив x в исходную функцию:

f(3) = -(3)^2 + 6*3 - 5
f(3) = -9 + 18 - 5
f(3) = 4

Итак, вершина находится в точке (3, 4).

Найдем места, где функция пересекает ось x. Для этого решим уравнение f(x) = 0:

-x^2 + 6x - 5 = 0

Для удобства воспользуемся квадратным уравнением. Дискриминант D = 6^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16. Таким образом у уравнения два корня:

x1 = (6 + 4) / 2 = 5
x2 = (6 - 4) / 2 = 1

Следовательно, функция пересекает ось x в точках (5, 0) и (1, 0).

Найдем точки экстремума функции. Для этого проанализируем вторую производную f''(x):

f''(x) = -2

Так как f''(x) < 0, то это означает, что вершина является максимумом функции.

Таким образом, мы определили вершину параболы, точки пересечения с осью x и выявили ее экстремум.