Комплексные числа, определения и тд. Комплексное число: определение, операции и их свойства; геометрическая интерпретация; формы записи

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Комплексное число представляет собой число вида (z = a + bi), где (a) и (b) - действительные числа, (i) - мнимая единица, которая равна (\sqrt{-1}).

Операции с комплексными числами включают сложение, вычитание, умножение и деление. Для сложения комплексных чисел используется правило ( (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i), для вычитания - ((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i), для умножения - ((a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i), для деления - (\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i).

Некоторые свойства операций с комплексными числами: коммутативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения, ассоциативность сложения и умножения.

Геометрическая интерпретация комплексного числа заключается в представлении его на плоскости посредством действительной и мнимой осей, так что действительная часть числа равна координате по оси X, а мнимая часть - по оси Y.

Формы записи комплексного числа могут быть алгебраической (вида (a + bi)), тригонометрической (вида (r(\cos\theta + i\sin\theta)), где (r) - модуль числа, (\theta) - аргумент числа) и экспоненциальной (вида (re^{i\theta}), где (e) - основание натурального логарифма).