Приложение производной к решению прикладных задач на нахождения наибольших и наименьших значений величин. ВАРИАНТ 1.
1.Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
а) f(x)= ????3 -6????2+9????−3; [0;5] б) f(x)= ????2 -sin x ; [-????2;π ] .
2.Найти максимальную скорость движения тела, если точка движется по закону:
S(t) = − 13????3 +2 ????2 +3t + 5.
3.Задача. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьше

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

.

Решение:

f'(x) = 9x^2 - 12x + 9.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

9x^2 - 12x + 9 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем x = 0.5.

Подставляя найденное значение x обратно в исходную функцию, получаем:

f(0.5) = 3(0.5)^3 - 6(0.5)^2 + 9*(0.5) - 3 = 4.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0;5] равно 4, а наименьшее значение равно f(0) = -3.

б) Производная функции f(x) = x^2 - sin(x) равна:

f'(x) = 2x - cos(x).

Находим точки экстремума:

2x - cos(x) = 0.

Изучив график функции, видим, что на отрезке [-π/2;π] наименьшее значение функции достигается в точке x = -π/2, а наибольшее значение - в точке x = π/2. Таким образом, наименьшее значение функции равно f(-π/2) = (-π/2)^2 - sin(-π/2) = π^2/4 + 1, наибольшее значение - f(π/2) = (π/2)^2 - sin(π/2) = π^2/4 + 1.

Для нахождения максимальной скорости движения тела необходимо найти производную функции S(t) и найти ее нули. После этого сравнить значения производной на найденных нулях и определить, где она максимальна.

Для решения задачи представим число 24 в виде двух неотрицательных слагаемых x и y так, чтобы сумма их квадратов была минимальной:

24 = x + y
minimize x^2 + y^2

Из первого уравнения x = 24 - y. Подставим это значение во второе уравнение и найдем производную по y. Приравняем эту производную к нулю, найдем значение y и выразим x через него. Таким образом, найдем оптимальные значения x и y.