Определить, пересекаются ли прямые AB и CD, и если пересекаются, то найти точку их пересечения. Даны точкиA (−3,5,15),B (0,0,7),C (2,−1,4),D (4,−3,0). Определить, пересекаются ли прямые AB и CD, и если пересекаются, то найти точку их пересечения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы определить пересекаются ли прямые AB и CD, найдем параметрические уравнения прямых.

Прямая AB:
x = -3 + 3t
y = 5 - 5t
z = 15 - 8t

Прямая CD:
x = 2 + 2s
y = -1 + s
z = 4 - 4s

Для пересечения прямых найдем значения параметров t и s, при которых координаты точек прямых AB и CD совпадают:
-3 + 3t = 2 + 2s
5 - 5t = -1 + s
15 - 8t = 4 - 4s

Перенесем все переменные в одну часть уравнения:
3t - 2s = 5
5t + s = 6
8t + 4s = 11

Умножим второе уравнение на 3 и вынесем переменную s:
15t + 3s = 18

Вычтем это из третьего уравнения:
-7t + s = -7

Теперь можем выразить s:
s = -7 + 7t

Подставим это значение в первое уравнение:
3t - 2(-7 + 7t) = 5
3t + 14 - 14t = 5
-11t = -9
t = 9/11

Теперь найдем s:
s = -7 + 7(9/11)
s = -7 + 63/11
s = -28/11

Найдем координаты точки пересечения, подставим значения t и s в параметрические уравнения прямых:
x = -3 + 3(9/11) = -3 + 27/11 = 6/11
y = 5 - 5(9/11) = 5 - 45/11 = 10/11
z = 15 - 8*(9/11) = 15 - 72/11 = 3/11

Итак, прямые AB и CD пересекаются в точке (6/11, 10/11, 3/11).