Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x² Найти промежутки монотонности
функции y=x³-3x²
по вот этим правилам
Находим область определения функции f(x).
Вычисляем производную f’(x) данной функции.
Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует.
Эти точки называются критическими для функции
f(x).
Делим область определения функции этими точками
на интервалы. Они являются интервалами
монотонности.
Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если
f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если
f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем область определения функции f(x):
Функция y=x³-3x² определена на всей числовой прямой, так как под знаком куба и квадрата стоит переменная x, которая может принимать любые значения.

Вычислим производную f’(x) данной функции:
f’(x) = 3x² - 6x

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:
3x² - 6x = 0
3x(x-2) = 0
x=0 или x=2

Точки x=0 и x=2 будут критическими точками для функции f(x).

Разделим область определения функции этими точками на интервалы:
(-∞, 0), (0, 2), (2, +∞)

Исследуем знак f’(x) на каждом интервале:
Для x∈(-∞,0): f’(x) = 3x² - 6x
Подставляя любое отрицательное число, получаем:
3(-число)² - 6(-число) = положительное число
Таким образом, на интервале (-∞,0) производная положительна, функция возрастает.

Для x∈(0,2): f’(x) = 3x² - 6x
Подставляя любое число от 0 до 2, получаем:
3число² - 6число = отрицательное число
Таким образом, на интервале (0,2) производная отрицательна, функция убывает.

Для x∈(2, +∞): f’(x) = 3x² - 6x
Подставляя любое число больше 2, получаем:
3число² - 6число = положительное число
Таким образом, на интервале (2, +∞) производная положительна, функция возрастает.

Итак, промежутки монотонности функции y=x³-3x²:
(-∞,0) - возрастает
(0,2) - убывает
(2, +∞) - возрастает