Выполнить полное исследование функции и построить ее график lnx/х^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Функция ( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} ) определена для всех положительных ( x ), так как логарифм натуральный числа определен только для положительных чисел.

Найдем область значений функции:

Так как логарифм натуральный числа принимает значения на всей числовой прямой, а знаменатель ( x^2 ) всегда положителен, то значит, что область значений функции также на всей действительной оси.

Найдем производную функции:

[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln(x)}{x^3} = \frac{x(1 - 2\ln(x))}{x^3} = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^2} ]

Теперь найдем точки экстремума функции, равные нулю производной:

[ 1 - 2\ln(x) = 0 ]
[ 2\ln(x) = 1 ]
[ \ln(x) = \frac{1}{2} ]
[ x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} ]

Проверим знак производной на интервалах:Для ( 0 < x < \sqrt{e} ), ( f'(x) > 0 ), что значит, функция возрастает на этом интервале.Для ( \sqrt{e} < x < +\infty ), ( f'(x) < 0 ), что значит, функция убывает на этом интервале.Найдем точки перегиба функции, равные нулю второй производной:

[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1 - 2\ln(x)}{x^2}\right) = \frac{\frac{d}{dx}(1 - 2\ln(x)) \cdot x^2 - (1 - 2\ln(x)) \cdot 2x}{x^4} ]
[ = \frac{(0 - \frac{2}{x} \cdot x^2) \cdot x^2 - (1 - 2\ln(x)) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-2x^2 - 2x + 4x\ln(x)}{x^3} = \frac{-2x(1 + x) + 4x\ln(x)}{x^3} ]
[ = \frac{2x(2\ln(x) - 1 - x)}{x^3} = \frac{4\ln(x) - 2 - 2x}{x^2} ]

[ 4\ln(x) - 2 - 2x = 0 ]
[ \ln(x) = \frac{1}{2} + \frac{x}{2} ]
[ x = e^{\frac{1}{2} + \frac{x}{2}} ]
[ \sqrt{e} = e^{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{e}}{2}} ]

Это уравнение не имеет аналитического решения, поэтому для нахождения точек перегиба можно воспользоваться численными методами.

Построим график функции ( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} ):import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return np.log(x) / x**2
x = np.linspace(0.1, 10, 1000)
y = f(x)
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='f(x) = ln(x) / x^2', color='b')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Graph of f(x) = ln(x) / x^2')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

На графике данной функции будет видно её поведение и различные точки, которые мы проанализировали в предыдущих шагах исследования.