Доказать неравенство с двумя переменными 4x²+9y²>12xy-0.1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем данное неравенство:

4x² + 9y² > 12xy - 0.1
4x² + 9y² - 12xy + 0.1 > 0

Для удобства введем обозначение a = 2x и b = 3y. Тогда неравенство можно переписать в виде:

2a² + 3b² - 6ab + 0.1 > 0
2a² - 6ab + 3b² + 0.1 > 0

Теперь представим левую часть неравенства как квадратное уравнение относительно переменной a:

D = (6b)² - 42(3b² + 0.1) = 36b² - 24b² - 0.8 = 12b² - 0.8

Так как D > 0, то уравнение имеет действительные корни. Следовательно, найдем их:

a₁,₂ = (6ab ± √D) / 4

a₁,₂ = (6b*2x ± √(12b² - 0.8)) / 4
a₁,₂ = (12bx ± √(12b² - 0.8)) / 4
a₁,₂ = 3bx ± √(3b² - 0.2)

Таким образом, получаем, что неравенство 4x² + 9y² > 12xy - 0.1 верно для всех действительных чисел x, y.