Вычислить значение производной dz/dt сложной функции z = z(x, y), где x = x(t), y = y(t), при t = t0. Вычислить значение производной dz/dt сложной функции z = z(x, y), где x = x(t), y = y(t), при t = t0
z = ln (e^x + e^y), x = t^2, y = t^3, t0 = 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производные x и y по t:

dx/dt = 2t

dy/dt = 3t^2

Теперь найдем производные z по x и y:

dz/dx = 1 / (e^x + e^y) * e^x = e^x / (e^x + e^y)

dz/dy = 1 / (e^x + e^y) * e^y = e^y / (e^x + e^y)

Теперь можем найти производную z по t:

dz/dt = dz/dx dx/dt + dz/dy dy/dt

Подставляем значения и вычисляем при t = 1:

dx/dt = 2

dy/dt = 3

x = 1

y = 1

dz/dt = e^1 / (e^1 + e^1) 2 + e^1 / (e^1 + e^1) 3 = e / (2e) 2 + e / (2e) 3 = 1 2 + 1 3 = 2 + 3 = 5

Таким образом, значение производной dz/dt сложной функции z в точке t = 1 равно 5.