Прогрессия в математике 1/(2-корень из 2), 1/2, ..Найти сумму всех чисел (S)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи мы можем представить данную прогрессию в виде суммы бесконечного ряда:

1/(2-√2), 1/2, 1/(2+√2), 1/(2-√2), 1/2, ...

Заметим, что поскольку числа в прогрессии чередуются между 1/(2-√2) и 1/2, то можно выделить 2 подпоследовательности:

Сумма первой подпоследовательности S1 будет равна:

S1 = (1/(2-√2)) + (1/(2-√2)) + (1/(2-√2)) + ...

Для нахождения этой суммы можно воспользоваться формулой для суммы бесконечного геометрического ряда:

S1 = a / (1 - r),

где a - первый член последовательности (в данном случае 1/(2-√2)), r - знаменатель пропорции (в данном случае (2-√2)/2).

S1 = (1/(2-√2)) / (1 - (2-√2)/2) = (1/(2-√2)) / (3-√2) = (1/(2-√2)) * (3+√2) = 3

Сумма второй подпоследовательности S2 будет равна:

S2 = (1/2) + (1/2) + (1/2) + ...

Так как каждый член равен 1/2, сумма бесконечного количества членов будет бесконечность (если рассматривать как сумму бесконечного ряда).

Итак, сумма всех чисел в данной прогрессии (S) равна сумме обеих подпоследовательностей:

S = S1 + S2 = 3 + ∞ = ∞.