Задача на объём цилиндра. В цилиндре проведена плоскость, параллельная его оси, которая отсекает от окружности основания дугу в 60°. Диагональ полученного сечения составляет с осью цилиндра угол в 30° и удалена от нее на расстояние, равное 1. Найдите объем цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус цилиндра равен R, а высота цилиндра равна H. Также обозначим точку пересечения диагонали с центральной осью цилиндра за O.
Так как диагональ сечения образует угол в 30° с осью цилиндра, то треугольник OCB является прямоугольным треугольником, где CB=R, а угол C равен 30°.
Таким образом, по теореме синусов, высота треугольника OCB (то есть расстояние от диагонали до оси цилиндра) равна R*sin(30°) = R/2.

Теперь найдем радиус R дуги, отсеченной плоскостью на основании цилиндра. Так как дуга составляет 60°, то длина этой дуги равна (60/360)2πR = πR/3.
Аналогично, найдем высоту треугольника OAB (где A - точка пересечения диагонали с дугой) через теорему синусов: высота треугольника OAB равна (πR/3)sin(30°) = R/6.

Теперь, зная высоту H и радиус основания R, можем найти объем цилиндра:
V = πR^2H = π(R/6)^2(R/2) = π*(R^2)/72.

Таким образом, объем цилиндра равен π*(R^2)/72.