Для начала докажем равенство A∩(B\C)⊆(A∩B)\C: Пусть x принадлежит множеству A∩(B\C). Это означает, что x принадлежит множеству A и x не принадлежит множеству B\C. Из этого следует, что x принадлежит множеству A и x не принадлежит множеству B или x не принадлежит множеству C. Из этого мы можем заключить, что x принадлежит множеству A и x принадлежит множеству B и x не принадлежит множеству C, что означает, что x принадлежит множеству (A∩B)\C. Таким образом, мы доказали, что A∩(B\C)⊆(A∩B)\C.
Теперь докажем равенство (A∩B)\C⊆A∩(B\C): Пусть x принадлежит множеству (A∩B)\C. Это означает, что x принадлежит множеству A и x принадлежит множеству B, но x не принадлежит множеству C. Из этого следует, что x принадлежит множеству A и x не принадлежит множеству C. Поскольку x принадлежит множеству B, x не принадлежит множеству C, что делает x элементом множества B\C. Таким образом, мы доказали, что (A∩B)\C⊆A∩(B\C).
С учетом обоих доказательств мы можем сделать вывод, что A∩(B\C)=(A∩B)\C.
Для начала докажем равенство A∩(B\C)⊆(A∩B)\C:
Пусть x принадлежит множеству A∩(B\C). Это означает, что x принадлежит множеству A и x не принадлежит множеству B\C. Из этого следует, что x принадлежит множеству A и x не принадлежит множеству B или x не принадлежит множеству C. Из этого мы можем заключить, что x принадлежит множеству A и x принадлежит множеству B и x не принадлежит множеству C, что означает, что x принадлежит множеству (A∩B)\C. Таким образом, мы доказали, что A∩(B\C)⊆(A∩B)\C.
Теперь докажем равенство (A∩B)\C⊆A∩(B\C):
Пусть x принадлежит множеству (A∩B)\C. Это означает, что x принадлежит множеству A и x принадлежит множеству B, но x не принадлежит множеству C. Из этого следует, что x принадлежит множеству A и x не принадлежит множеству C. Поскольку x принадлежит множеству B, x не принадлежит множеству C, что делает x элементом множества B\C. Таким образом, мы доказали, что (A∩B)\C⊆A∩(B\C).
С учетом обоих доказательств мы можем сделать вывод, что A∩(B\C)=(A∩B)\C.