Квадратичные вычеты по модулю p и их количество А) все вычеты по модулю p (p — простое) возвели в квадрат. Сколько различных вычетов получилось? б) Докажите, в поле вычетов по модулю p уравнение x^2 + y^2 + 1 = 0 всегда имеет решение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для любого числа x из множества {1, 2, ..., p-1} найдем квадрат x^2. Поскольку p простое число, то каждое число из этого множества имеет обратный элемент по модулю p. Поэтому x и p-x дают одинаковый квадрат: (p-x)^2 = x^2. Получаем, что различных квадратов получилось p/2.

б) Пусть f(x, y) = x^2 + y^2 + 1. Рассмотрим f(x, 0) = x^2 + 1. Попробуем найти такое x, что x^2 + 1 = 0 (mod p). Умножим обе части на -1, получаем x^2 = -1 (mod p). Это значит, что -1 является квадратичным вычетом по модулю p. Поскольку p - простое число, существует элемент g из поля вычетов такой, что g^2 = -1 (mod p). Тогда подставим y = g в уравнение f(x, g) = x^2 + g^2 + 1 = x^2 - 1 + 1 = x^2 = -1 (mod p), т.е. уравнение f(x, y) = 0 имеет решение в поле вычетов по модулю p.