Найдите произведение корней уравнения (x^2 + 1/x^2)-4(x+1/x)+5=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение эквивалентно уравнению:

x^4 + 1 - 4x^2 - 4 + 5x^2 = 0,

x^4 + x^2 - 3 = 0.

Обозначим x^2 как y, тогда уравнение примет вид:

y^2 + y - 3 = 0.

Найдем корни данного уравнения, используя формулу для квадратного уравнения:

D = 1 + 4*3 = 13,

y1 = (-1 + sqrt(13))/2,
y2 = (-1 - sqrt(13))/2.

Таким образом, корни уравнения y^2 + y - 3 = 0 равны:

y1 = (-1 + sqrt(13))/2,
y2 = (-1 - sqrt(13))/2.

Теперь найдем корни исходного уравнения:

x^2 = (-1 + sqrt(13))/2 или x^2 = (-1 - sqrt(13))/2.

Корни данного уравнения будут равны:

x1 = sqrt[(-1 + sqrt(13))/2],
x2 = -sqrt[(-1 + sqrt(13))/2],
x3 = sqrt[(-1 - sqrt(13))/2],
x4 = -sqrt[(-1 - sqrt(13))/2].

Произведение всех корней будет равно:

sqrt[(-1 + sqrt(13))/2] -sqrt[(-1 + sqrt(13))/2] sqrt[(-1 - sqrt(13))/2] * -sqrt[(-1 - sqrt(13))/2] =

= (-1 + sqrt(13))/2 * (-1 - sqrt(13))/2 = -((1 - 13)/4) = 12/4 = 3.