Около треугольника `ABC` описана окружность, угол `A` равен 15, угол B=45, AB=4sqrt3. Найти радиус окружности и длину стороны `AC`.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что вписанный угол B равен углу, опирающемуся на дугу AC, а вписанный угол A равен углу, опирающемуся на дугу BC. Следовательно, угол, опирающийся на дугу AB равен 120 градусов.
Таким образом, угол C равен 180 - угол A - угол B = 120 градусов.
Из треугольника ABC, используя теорему синусов, найдем сторону AC:
AC / sin15 = 4sqrt3 / sin120
AC = (4sqrt3 * sin15) / sin120
AC ≈ 4.67

Теперь найдем радиус окружности. Радиус вписанной окружности равен произведению площади треугольника на полупериметр и делению на площадь треугольника.

Площадь треугольника ABC можно найти, разделив его на два прямоугольных треугольника ABD и ACD, где D - точка касания вневписанной окружности.

Площадь треугольника ABD = (1/2) AB AD = 4sqrt3 r
Площадь треугольника ACD = (1/2) AC AD = 4.67 r

Итак, S(ABC) = S(ABD) + S(ACD) = 4sqrt3 r + 4.67 r = r(4sqrt3 + 4.67)

Полупериметр треугольника ABC равен (AB + AC + BC) / 2 = (4sqrt3 + 4.67 + 4) / 2 = 8.67 / 2 = 4.335

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:
r = S(ABC) 2 / (AB + AC + BC)
r = r(4sqrt3 + 4.67) 2 / (4sqrt3 + 4.67 + 4)
r = r(4sqrt3 + 4.67) / 12.67

r ≈ 0.64

Итак, радиус окружности равен примерно 0.64, а сторона AC ≈ 4.67.