Продолжения высоты `BD` и биссектрисы `BK` треугольника `ABC` пересекают описанную около него окружность в точках... Продолжения высоты `BD` и биссектрисы `BK` треугольника `ABC` пересекают описанную около него окружность в точках `D_1` и `K_1` соответственно, при этом `BD=DD_1` и `BK:BK_1=3:8`. Найти радиус окружности, если площадь треугольника `ABC` равна `30`.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус описанной окружности как R, стороны треугольника ABC как a, b, c (где a против BC, b против AC, c против AB), а также высоты h_a, h_b, h_c.

Из условия BD=DD_1 следует, что BC - диаметр окружности, то есть BC=2R.

Также, из подобия треугольников ABC и AD_1D по теореме о трёх параллелях получаем:

BD/AD_1 = c/BD

BK/KK_1 = b/BK

Отсюда получаем два уравнения:

2R/b = c/2R

8R/b = b/3R

Решая их, получаем, что a=b=3R, c=2R.

Теперь выразим площадь S через стороны треугольника и радиус описанной окружности:

S = (1/2) * a * h_a = (1/2) * b * h_b = (1/2) * c * h_c = 30

Так как S=30, то 3R * h_a = 30, следовательно, h_a=10.

Теперь можно найти радиус описанной окружности R:

R = c/2 = 2

Итак, радиус описанной окружности равен R=2.