Тригонометрия)1) sin²π/8-cos²π/82) sin15cos15/sin²15-cos²153)вычислите: (sin2α-cos2α+2)/sin²α-2cos²α, если ctgα=-2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) sin²(π/8) - cos²(π/8)
У нас дано, что ctg(π/8) = -1
Из этого можем выразить sin(π/8) и cos(π/8):
cos(π/8) = 1 / √(1 + ctg²(π/8)) = 1 / √(1 + 1) = 1 / √2
sin(π/8) = ctg(π/8) cos(π/8) = -1 1 / √2 = -1 / √2

Теперь можем подставить значения sin(π/8) и cos(π/8):
sin²(π/8) - cos²(π/8) = (-1 / √2)² - (1 / √2)² = 1/2 - 1/2 = 0

2) sin(15)cos(15) / sin²(15) - cos²(15)
Заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), тогда:
sin(15)cos(15) = sin(30) / 2 = 1 / 2
Также sin(30) = 1/2 и cos(30) = √3 / 2

Теперь можем подставить все в наше выражение:
(1 / 2) / (1/2)² - (√3 / 2)² = 1 / 2 / 1/4 - 3/4 = 1 / 2 / 1/4 - 3/4 = 1/2 / 1/4 - 3/4 = 4 / 2 (1 - 3) = 4 / 2 * (-2) = -4

3) (sin(2α) - cos(2α) + 2) / sin²α - 2cos²α
Мы знаем, что ctgα = -2, тогда:
cosα/sinα = -2
cos²α = 4sin²α
cos(2α) = 1 - 2sin²α
sin(2α) = 2sinα cosα = 2sinα / (-2) = -sinα

Теперь можем подставить все значения:
(sin(2α) - cos(2α) + 2) / sin²α - 2cos²α = (-sinα - (1 - 2sin²α) + 2) / sin(α)² - 2 4sin²α = (-sinα - 1 + 2sin²α + 2) / sin²α - 8sin²α = (2sin²α - sinα - 1) / sin²α - 8sin²α = (2sinα - sinα - 1) / sin²α - 8sin²α = (sinα - 1) / sin²α - 8sin²α = sinα / sin²α - 1 / sin²α - 8sin²α = ctg(α) - csc(α) - 8 / csc²(α) = -2 - 1 / sin(α) - 8 / 1 / sin(α) = -3 - 8sin²α = -3 + 8 1 / 4 = -1