Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1; 0), B(2; 3),C(3; 0), D(-1; -1). Найдите косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты середины диагонали AC и середину диагонали BD.

Середина диагонали AC
x = (x1 + x3) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 =
y = (y1 + y3) / 2 = (0 + 0) / 2 = 0 / 2 =
Середина диагонали AC имеет координаты M(1; 0)

Середина диагонали BD
x = (x2 + x4) / 2 = (2 + (-1)) / 2 = 1 / 2 = 0.
y = (y2 + y4) / 2 = (3 + (-1)) / 2 = 2 / 2 =
Середина диагонали BD имеет координаты N(0.5; 1)

Теперь найдем векторы AC ⃗ и BD ⃗
AC ⃗ = C - A = (3 - (-1); 0 - 0) = (4; 0
BD ⃗ = D - B = (-1 - 2; -1 - 3) = (-3; -4)

Найдем их скалярное произведение
AC ⃗ BD ⃗ = (4 -3) + (0 * -4) = -1
|AC ⃗| = √(4^2 + 0^2) = √16 =
|BD ⃗| = √((-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

cos α = AC ⃗ BD ⃗ / (|AC ⃗| |BD ⃗|) = -12 / (4 * 5) = -12 / 20 = -0.6

cos α ≈ -0.6

Ответ: косинус острого угла между диагоналями AC и BD равен примерно -0.6.