Найти производную функции y=x/Inx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной функции y=x/ln(x) используем правило дифференцирования частного.

y = x/ln(x)

Прологарифмируем обе стороны уравнения, используя логарифм натуральный:

ln(y) = ln(x/ln(x))

Теперь продифференцируем обе стороны уравнения:

d/dx[ln(y)] = d/dx[ln(x/ln(x))]

Сначала найдем производную левой части:

1/y * dy/dx = d/dx[ln(x/ln(x))]

Затем продифференцируем правую часть уравнения:

d/dx[ln(x/ln(x))] = d/dx[ln(x) - ln(ln(x))]

= d/dx[ln(x)] - d/dx[ln(ln(x))]
= 1/x - 1/(x*ln(x))

Подставляем полученные значения:

1/y dy/dx = 1/x - 1/(xln(x))

Теперь найдем производную функции y=x/ln(x) по x:

dy/dx = y (1/x - 1/(xln(x)))

Заменяем y на x/ln(x):

dy/dx = x/ln(x) (1/x - 1/(xln(x)))

Упрощаем:

dy/dx = 1/ln(x) - 1/(ln(x))^2

Таким образом, производная функции y=x/ln(x) равна 1/ln(x) - 1/(ln(x))^2.