Вычислить определенный интеграл: 3 сверху 2 снизу ( 2х + 3) ^ 4 dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного определенного интеграла необходимо сначала найти неопределенный интеграл от функции f(x) = (2x + 3)^4, а затем подставить верхний и нижний пределы интегрирования и вычислить разность.

Итак, найдем неопределенный интеграл данной функции:

∫(2x + 3)^4 dx

Раскрываем скобки с помощью биномиальной формулы:

= ∫(16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81) dx

Теперь проведем интегрирование каждого члена по отдельности:

= (16/5)x^5 + (24)x^4 + (72)x^3 + (108)x^2 + (81x) + C

где C - произвольная постоянная.

Теперь подставим верхний предел (3) и нижний предел (2) интегрирования и вычислим определенный интеграл:

= [(16/5)(3)^5 + 24(3)^4 + 72(3)^3 + 108(3)^2 + 81(3)] - [(16/5)(2)^5 + 24(2)^4 + 72(2)^3 + 108(2)^2 + 81(2)]
= (7776/5 + 1296 + 648 + 324 + 243) - (512/5 + 384 + 144 + 432 + 162)
= 9839.2 - 590.4
= 9248.8

Таким образом, значение определенного интеграла от функции (2x + 3)^4 на отрезке от 2 до 3 равно 9248.8.