Как доказать, что arcctg(x)=arctg(1/x), если x>0 и arcctg(x)=pi+arctg(1/x), если x<0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся определениями арктангенса и арккотангенса.

Для случая x > 0:
Пусть y = arctg(1/x), тогда по определению арктангенса имеем:
tan(y) = 1/x.
Теперь возьмем обратную функцию от обеих сторон:
arctan(tan(y)) = arctan(1/x)
y = arctan(1/x) = arcctg(x)

Таким образом, для x > 0 доказано, что arcctg(x) = arctg(1/x).

Для случая x < 0:
Пусть y = arctg(1/x), тогда по определению арктангенса имеем:
tan(y) = 1/x.
Но так как x < 0, то tan(y) будет отрицательным, а значит arctan(1/x) будет находиться во 2 или 4 квадранте, что соответствует значению pi + arctg(1/x) в этих квадрантах.

Таким образом, для x < 0 доказано, что arcctg(x) = pi + arctg(1/x).

Итак, утверждение доказано.