Найти объем тела, ограниченного плоскости z=x+y, z=xy, x+y=1, x=0, y=0 Найти объем тела, ограниченного плоскости z=x+y, z=xy, x+y=1, x=0, y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала находим точки пересечения плоскостей:

Пересечение плоскостей z=x+y и z=xy:
x+y=xy
y=xy-x
y=x(y-1)
y=x-y
y=x/(x+1)
Подставляем это в первое уравнение:
z=x+y
z=x+x/(x+1)
z=(x^2+x)/(x+1)

Пересечение плоскостей z=x+y и x+y=1:
x+y=1
y=1-x
Подставляем это в первое уравнение:
z=x+y
z=x+1-x
z=1

Таким образом, у нас есть следующие точки пересечения:
A(0,0,0), B(1,0,1), C(1/2,1/2,3/2)

Теперь можем найти объем тела, ограниченного этими плоскостями. Для этого используем интеграл:

V = ∫[0,1] ∫[0,1-x] ((x^2+x)/(x+1) - 1) dy dx

Выполнив интегрирование, получим объем:

V = ∫[0,1] (x^2 - x) dx = 1/6

Ответ: объем тела, ограниченного плоскостями z=x+y, z=xy, x+y=1, x=0, y=0 равен 1/6.