Исследование функции с помощью производной. y=x^3-3x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции ( y = x^3 - 3x ) с помощью производной найдем сначала производную данной функции.

[ y' = \frac{d}{dx} (x^3) - \frac{d}{dx} (3x) = 3x^2 - 3 ]

Теперь проанализируем поведение функции по ее производной:

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и найдя корни уравнения:

[ 3x^2 - 3 = 0 ]
[ 3x^2 = 3 ]
[ x^2 = 1 ]
[ x = \pm 1 ]

Таким образом, функция имеет точки экстремума в точках ( x = -1 ) и ( x = 1 ).

Исследуем возрастание и убывание функции. Для этого анализируем знак производной на интервалах между экстремумами и за их пределами:на интервале ( (-\infty, -1) ) производная ( y' < 0 ), что означает убывание функции,на интервале ( (-1, 1) ) производная ( y' > 0 ), что означает возрастание функции,на интервале ( (1, +\infty) ) производная ( y' > 0 ), что также означает возрастание функции.Найдем точку перегиба функции, приравняв к нулю вторую производную:

[ y'' = \frac{d^2}{dx^2} (y') = \frac{d}{dx} (3x^2 - 3) = 6x ]

[ 6x = 0 ]
[ x = 0 ]

Таким образом, функция имеет точку перегиба в точке ( x = 0 ).

Итак, исследование функции ( y = x^3 - 3x ) с помощью производной позволяет нам найти точки экстремума, точку перегиба и определить возрастание и убывание функции на различных интервалах.