Тригонометрическое уравнение: Tg^2x+15tg2x-16=0 Тригонометрическое уравнение: Tg^2x+15tg2x-16=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этого уравнения нужно ввести замену: y = tg^2x. Тогда уравнение примет вид: y + 15y - 16 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение: y^2 + 15y - 16 = 0.

D = 15^2 - 41(-16) = 225 + 64 = 289.

y1 = (-15 + √289) / 2*1 = (-15 + 17) / 2 = 2/2 = 1.

y2 = (-15 - √289) / 2*1 = (-15 - 17) / 2 = -32/2 = -16.

Теперь найдем обратную замену y = tg^2x: tg^2x = 1 и tg^2x = -16.

1) tgx = √1 = 1 => x = π/4 + πn, n∈Z.
2) tgx = √(-16) = √16 * √(-1) = 4i => x = arctg(4i) + πm, m∈Z.

Итак, решения уравнения tg^2x + 15tg2x - 16 = 0: x = π/4 + πn, x = arctg(4i) + πm, где n, m - целые числа.