Найдите неопределенный интеграл ∫4^cosx*sin xdx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения неопределенного интеграла ∫4^cosx*sin xdx мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям.

Интегрируя по частям, мы получим:
∫4^cosxsin xdx = -4cos(x)cos(x) + ∫4^cosxcos xdx

Теперь мы можем воспользоваться формулой интегрирования произведения функций cos и sin:
∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - ∫f(x)g'(x)dx

Применяя эту формулу к ∫4^cosxcos xdx, получим:
∫4^cosxcos xdx = 4cos(x)sin(x) - ∫4sin(x)(-sin(x))dx = 4cos(x)sin(x) + ∫4sin^2(x)dx

Теперь нам нужно выразить sin^2(x) через cos(x), подставить это выражение в ∫4sin^2(x)dx и затем проинтегрировать. Получится:
sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

∫4sin^2(x)dx = ∫4(1 - cos^2(x))dx = ∫4dx - ∫4cos^2(x)dx = 4x - 4∫cos^2(x)dx

Теперь нам нужно найти интеграл ∫cos^2(x)dx. Для этого можно воспользоваться формулой половинного угла:
cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2

Подставим это выражение в ∫4cos^2(x)dx:
∫4cos^2(x)dx = ∫2(1 + cos(2x))dx = 2x + ∫2cos(2x)dx

Интегрируя это выражение, получим:
∫2cos(2x)dx = 2*sin(2x)/2 = sin(2x)

Таким образом, неопределенный интеграл ∫4^cosx*sin xdx равен:
-4cos^2(x) + 4cos(x)sin(x) + 4x - 2sin(2x) + C, где C - постоянная интегрирования.