Lim при X->pi/4. Функции (cos^2(x+pi/4))/(x-pi/4)^2 Не используя правило Лапиталя

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения предела функции (cos^2(x+pi/4))/(x-pi/4)^2 при x->pi/4, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и разложением функций в ряд Тейлора.

cos^2(x+pi/4) = cos^2(x)cos^2(pi/4) - 2cos(x)sin(x)cos(pi/4) + sin^2(x)cos^2(pi/4)
= cos^2(x)(1/2) - 2cos(x)sin(x)(1/2) + sin^2(x)(1/2)
= (1/2)(cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) + sin^2(x))
= (1/2)(1 - sin(2x))
= 1/2 - 1/2sin(2x)

Таким образом, наша функция принимает вид:

(1/2 - 1/2sin(2x))/(x-pi/4)^2

Теперь разложим sin(2x) в ряд Тейлора:

sin(2x) = 2x - (2x)^3/3! + (2x)^5/5! - ...

Подставляем это обратно в нашу функцию:

(1/2 - 1/2(2x - (2x)^3/3! + (2x)^5/5! - ...))/(x-pi/4)^2

= (1/2 - x + x^3/3! - x^5/5! + ...)/(x-pi/4)^2

Теперь можем разложить числитель в ряд Тейлора в окрестности x=pi/4:

1/2 - pi/4 + (pi/4)^3/3! - (pi/4)^5/5! + ... = 1/2 - pi/4 + pi^3/(4322) - pi^5/(4432) + ...

Теперь мы можем делать подстановку:

(1/2 - pi/4 + pi^3/(4322) - pi^5/(4432) + ...)/(x-pi/4)^2

= (1/2 - pi/4)/(x-pi/4)^2 + const/(x-pi/4) + const1 + const2(x-pi/4) + ...

Таким образом, предел данной функции при x->pi/4 равен бесконечности.