Периметр прямоугольника 20м. обозначим одну из его сторон за х и рассмотрим те прямоугольники , для которых х принадлежит [2;8].Найдите среди них прямоугольник с наименьшей площадью и прямоугольник с наибольшей площадью.Укажите площади этих прямоугольников.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для прямоугольника с периметром 20м имеем:
2x + 2y = 20,
x + y = 10,
y = 10 - x.

Так как x принадлежит [2;8], то соответственно y принадлежит [8;2].

Площадь прямоугольника S = x*y = x(10-x) = 10x - x^2.

Найдем экстремумы этой функции:
S'(x) = 10 - 2x,
S''(x) = -2.

Корни уравнения S'(x) = 0: x = 5.

Т.к. S''(5) < 0, то х = 5 - точка минимума.

При x=5, y=5, S = 25.

Теперь найдем прямоугольник с наибольшей площадью. Как мы увидели выше, площадь прямоугольника S = x(10-x) = 10x - x^2.

Эта функция убывает на интервале [2;5] и возрастает на интервале [5;8]. Наибольше значение S будет при x=8. Тогда y = 2, S = 8*2 = 16.

Таким образом, прямоугольник с наименьшей площадью имеет площадь 25, а с наибольшей площадью - 16.