Вычислить интеграл Sin^2 (3x) * cos^2 (3x) * dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой двойного угла и формулами для произведения синуса и косинуса:

sin^2 (3x) cos^2 (3x) = (1 - cos^2 (3x)) cos^2 (3x) = cos^2 (3x) - cos^4 (3x)

Теперь заменим переменную и выразим интеграл через косинус:

Пусть t = 3x, тогда dt = 3dx

Интеграл станет:

(1/3) ∫(cos^2 (t) - cos^4 (t)) dt = (1/3) (∫cos^2 (t) dt - ∫cos^4 (t) dt)

Используем формулу для интеграла косинуса:

∫cos^2 (t) dt = (t/2) + (sin(2t)/4) + C

Используем метод подстановки для вычисления второго интеграла:

u = cos^2 (t), du = -2cos(t)sin(t)dt

Снова используем формулу для интеграла косинуса:

∫cos^4 (t) dt = (1/2) ∫(1 + cos(2t)) dt = (1/2) (t + (sin(2t)/2)) + C

Теперь выразим обратно через x:

(1/3) ((3x/2) + (sin(6x)/4) - (1/2) (3x + (sin(6x)/2))) + C

(1/3) * (3x/2 - 3x/2 + sin(6x)/4 - sin(6x)/4) = sin(6x)/12 + C

Ответ: интеграл Sin^2 (3x) cos^2 (3x) dx равен sin(6x)/12 + C, где C - произвольная постоянная.