Найдите наименьшее значение выражения x2+xy+y2+3y.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего значения этого выражения нужно найти экстремум функции от двух переменных x и y.

Для этого сначала возьмем частные производные по x и y и приравняем их к нулю:

∂/∂x(x^2 + xy + y^2 + 3y) = 2x + y = 0
∂/∂y(x^2 + xy + y^2 + 3y) = x + 2y + 3 = 0

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим первое уравнение во второе:

x + 2*(-2x) + 3 = 0
x - 4x + 3 = 0
-3x + 3 = 0
x = 1

Подставим найденное значение x = 1 в первое уравнение:

2*1 + y = 0
2 + y = 0
y = -2

Таким образом, наименьшее значение выражения x^2 + xy + y^2 + 3y достигается при x = 1 и y = -2:

1^2 + 1(-2) + (-2)^2 + 3(-2) = 1 - 2 + 4 - 6 = -3

Ответ: Наименьшее значение выражения равно -3.