Для решения данного уравнения воспользуемся методом подбора корней.

Подставим значения x = -1, x = 1 и x = 2 в уравнение и найдем значение уравнения для каждого из них:

При x = -1: 2(-1)^3 - 7(-1)^2 - 5(-1) + 4 = 2 + 7 + 5 + 4 = 18
При x = 1: 2(1)^3 - 7(1)^2 - 5(1) + 4 = 2 - 7 - 5 + 4 = -6
При x = 2: 2(2)^3 - 7(2)^2 - 5(2) + 4 = 16 - 28 - 10 + 4 = -18

Из полученных значений видно, что при x = 1 уравнение равно -6, следовательно, x = 1 - корень уравнения.

Для дальнейших рассуждений воспользуемся схемой деления многочленов:

[
\begin{array}{|c c c c c|}
\hline
x^3 & -7x^2 & -5x & +4 & \left|2x^3 - 7x^2 - 5x + 4\right. \
\hline
& 2x^3 & -2x^2 & & \
& & -5x^2 & -5x & \
\hline
& & & -10x & \
& & & & + 4 \
\hline
& & & & -6 \
\hline
\end{array}
]

Разделим исходный многочлен на (x - 1) с помощью схемы деления многочленов:

[
(2x^3 - 7x^2 - 5x + 4) : (x - 1) = 2x^2 - 5x - 10
]

Таким образом, уравнение 2x^3 - 7x^2 - 5x + 4 = 0 можно представить в виде (x - 1)(2x^2 - 5x - 10) = 0

Решим полученное уравнение 2x^2 - 5x - 10 = 0 с помощью квадратного уравнения:

D = (-5)^2 - 4 2 (-10) = 25 + 80 = 105

x = (5 ± √105) / 4

x = (5 ± √105) / 4

Таким образом, уравнение 2x^3 - 7x^2 - 5x + 4=0 имеет корни:
x = 1, x ≈ 2.44, x ≈ -1.44