Для доказательства данного неравенства проведем замену переменной. Пусть x = a². Тогда неравенство примет вид:

x⁴ + x³ - 4x² + x + 1 ≥ 0

Теперь рассмотрим данное неравенство как квадратное уравнение относительно x:

(x² + 1)² + x(x² - 4x + 1) ≥ 0

Рассмотрим каждое слагаемое:

1) (x² + 1)² ≥ 0 - всегда положителен.

2) x(x² - 4x + 1) = x(x - 2)² - x² ≥ 0 - положительный при x ≤ 0, в остальных случаях отрицательный.

Таким образом, учитывая оба слагаемых, неравенство выполняется при x ≤ 0, то есть при a≤0.

Итак, неравенство a⁸ + a⁶ - 4a⁴ + a² + 1 ≥ 0 верно при a ≤ 0.