Найдите производную функции e^x*ctg x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной данной функции ( e^x \cdot \cot{x} ), нужно применить правило производной произведения функций.

Для удобства дальнейших вычислений, можно переписать функцию в виде:

[ y = e^x \cdot \cot{x} = e^x \cdot \frac{\cos{x}}{\sin{x}} ]

Теперь найдем производную:

[ y' = (e^x)' \cdot \cot{x} + e^x \cdot (\cot{x})' ]

Для вычисления производной ( (e^x)' = e^x ), а также производной ( (\cot{x})' = -\csc^2{x} ), так как ( \cot{x} = \frac{1}{\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} ) и ( \cot{x} = \frac{1}{\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} ).

Подставляем все найденные значения:

[ y' = e^x \cdot \frac{\cos{x}}{\sin{x}} + e^x \cdot \left(-\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}\right) ]

Упростим:

[ y' = e^x \cdot \frac{\cos{x}}{\sin{x}} - e^x \cdot \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} ]

[ y' = e^x \cdot \frac{\cos{x}}{\sin{x}} - e^x \cdot \frac{\cos{x}\cdot \cos{x}}{\sin{x}\cdot \sin{x}} ]

[ y' = e^x \cdot \frac{\cos{x}\cdot \sin{x} - \cos{x}\cdot \cos{x}}{\sin{x}\cdot \sin{x}} ]

[ y' = e^x \cdot \frac{\cos{x}\cdot \sin{x} - \cos^2{x}}{\sin^2{x}} ]

Таким образом, производная функции ( e^x \cdot \cot{x} ) равна:

[ y' = e^x \cdot \frac{\cos{x}\cdot \sin{x} - \cos^2{x}}{\sin^2{x}} ]