Найдите сумму двадцати членов арифметической прогрессии (An) если а6+а9+а12+а15=20

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии
S = n/2 * (a1 + an)
где S – сумма n членов арифметической прогрессии
n – количество членов
a1 – первый член последовательности
an – n-й член последовательности.

Из условия задачи нам дано, что a6 + a9 + a12 + a15 = 20. Таким образом, нам даны 4 члена прогрессии.

Мы можем представить данную сумму как разность двух сумм: первых 5 членов прогрессии и первых 9 членов прогрессии
S(а1 + … + a15) - S(а1 + … + a5) = 2
S(а1 + … + a15) = S(а1 + … + a15) + S(а1 + … + a5
S(a6 + … + a15) = S(а1 + … + a15) - S(а1 + … + a5) = 20

Теперь мы можем найти сумму первых 5 и первых 15 членов прогрессии, которая должна быть равна 20.

Для удобства обозначим a1 = a, d = a2 - a1.

Тогда
S(а1 + … + a5) = 5/2 (2a + 4d) = 5a + 10d
S(а1 + … + a15) = 15/2 (2a + 14d) = 15a + 105d.

Теперь выразим d через a
a6 = a + 5d
a9 = a + 8d
a12 = a + 11d
a15 = a + 14d.

Таким образом, у нас есть
a + 5d + a + 8d + a + 11d + a + 14d = 20
4a + 38d = 20
2a + 19d = 10.

Теперь подставим выражение для d (d = (10 - 2a) / 19) в формулу S(а1 + … + a5)
S(а1 + … + a5) = 5a + 10 * ((10 - 2a) / 19) = 5a + 100/19 - 20a/19.

Теперь найдем сумму членов первых 5 членов прогрессии
S(а1 + … + a5) = 20
5a + 100/19 - 20a/19 = 20
95/19 a = 380/19 - 100
95/19 a = 280/19
a = 280/95.

Теперь найдем сумму 20 членов прогрессии
S = 20/2 (280/95 + 20d) = 10 (280/95 + 20 (10 - 2 280/95) / 19
S = 140 + 20 (2800/95 - 4 280/95
S = 140 + 20 * 2800/95 - 8
S = 140 + 560/19 - 8
S = 140 + 29.4736 - 8
S = 140 + 29.4736 - 80 = 89.474.

Таким образом, сумма двадцати членов арифметической прогрессии равна 89.474.