Решите и укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ Решите и укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ
а) х2-4х+1≤0
b) 2х2-х+4>0
c)-х2+3х-8≥0
d) –х2+16≥0
Неравенство не имеет решений.
Решением неравенства является вся числовая прямая.
Решением неравенства является одна точка.
Решением неравенства является закрытый промежуток.
Решением неравенства является открытый промежуток.
Решением неравенства является объединение двух промежутков.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для неравенства х2-4х+1≤0 нужно найти корни квадратного уравнения х2-4х+1=0. Дискриминант равен D= (-4)2 - 411 = 16-4=12.

Так как D>0, то уравнение имеет два различных корня х1,2 = (4±√12)/2 = 2±√3.

Значения корней х1,2 разделяют числовую прямую на три промежутка (-∞, 2-√3), (2-√3, 2+√3), (2+√3, +∞).

Подставляя в неравенство точки из каждого промежутка, получаем, что неравенство выполняется только в промежутке (2-√3, 2+√3).

Следовательно, решением неравенства а) является открытый промежуток (2-√3, 2+√3).

б) Для неравенства 2х2-х+4>0 необходимо найти корни квадратного уравнения 2х2-х+4=0. Дискриминант равен D= (-1)2 - 424 = 1-32= -31.

Так как D<0, то уравнение не имеет действительных корней, следовательно, неравенство выполняется на всей числовой прямой.

Следовательно, решением неравенства б) является вся числовая прямая.

в) Для неравенства -х2+3х-8≥0 нужно найти корни квадратного уравнения -х2+3х-8=0. Дискриминант равен D= 32 - 4(-8)1 = 9+32=41.

Так как D>0, то уравнение имеет два действительных корня х1,2 = (3±√41)/(-2).

Значения корней разделяют числовую прямую на три промежутка. Вычисляя значения неравенства в точках из каждого промежутка, видим, что оно выполняется вне интервалов, содержащих корни уравнения.

Следовательно, решением неравенства в) является объединение двух открытых промежутков.

г) Для неравенства –х2+16≥0 нужно найти корни квадратного уравнения –х2+16=0. Дискриминант равен D= 02 - 4(-1)16 = 0.

Так как D=0, то уравнение имеет один действительный корень х=4.

Подставляя х=4 в неравенство, видим, что оно выполняется только в точке 4.

Следовательно, решением неравенства г) является одна точка 4.